例 3 ： 验证谷角猜想。日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数 n ，若 n 为偶数，则将其除以 2 ;若 n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。 要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数 n ，把 n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。 分析： 定义迭代变量为 n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当 n 为偶数时， n=n/2 ;当 n 为奇数时， n=n*3+1 。用 QBASIC 语言把它描述出来就是： 以下是引用片段：
if n 为偶数 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if |
这就是需要计算机重复执行的迭代过程。这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量 n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数 n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为： n=1 。参考程序如下： 以下是引用片段：
cls
input "Please input n=";n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 为偶数，则调用迭代公式 n=n/2
n=n/2
print "—";n;
else
n=n*3+1
print "—";n;
end if
loop
end |
迭代法 迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行： (1) 选一个方程的近似根，赋给变量x0; (2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0; (3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。 若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。上述算法用C程序的形式表示为： 【算法】迭代法求方程的根 以下是引用片段：
{ x0=初始近似根;
do {
x1=x0;
x0=g(x1); /*按特定的方程计算新的近似根*/
} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon);
printf(“方程的近似根是%f/n”，x0);
} |
迭代算法也常用于求方程组的根，令 X=(x0，x1，…，xn-1) 设方程组为： xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1) 则求方程组根的迭代算法可描述如下： 【算法】迭代法求方程组的根 以下是引用片段：
{ for (i=0;i
x=初始近似根;
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);
} while (delta>Epsilon);
for (i=0;i
printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x);
printf(“/n”);
} |
具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1) 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制; (2) 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。 递归 递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。 能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。特别地，当规模N=1时，能直接得解。
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