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数据结构教程 第二十一课 树、二叉树定义及术语

51自学网 2015-09-08 http://www.51zixue.net

教学目的: 掌握树、二叉树的基本概念和术语,二叉树的性质

教学重点: 二叉树的定义、二叉树的性质

教学难点: 二叉树的性质

授课内容:

一、树的定义:

树是n(n>=0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中:

(1)有且仅有一个特定的称为根的结点;

(2)当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,...Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树.

二、树的基本概念:

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

结点拥有的子树数称为结点的

度为0的结点称为叶子终端结点

度不为0的结点称为非终端结点分支结点

树的度是树内各结点的度的最大值。

结点的子树的根称为该结点的孩子,相应地,该结点称为孩子的双亲

同一个双亲的孩子之间互称兄弟

结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。

以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙

结点的层次从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度,或高度。

如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的,则称该树为有序树,否则称为无序树。

森林是m(m>=0)棵互不相交的树的集合。

 

三、二叉树的定义

二叉树是另一种树型结构,它的特点是每个结点至多只有二棵子树(即二叉树中不存在度大于2的结点),并且,二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。

一棵深度为k且有2(k)-1个结点的二叉树称为满二叉树,如图(a),按图示给每个结点编号,如果有深度为k的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时,称之为完全二叉树

二叉树的定义如下:

ADT BinaryTree{

数据对象D:D是具有相同特性的数据元素的集合。

数据关系R:

基本操作P:

InitBiTree(&T);

DestroyBiTree(&T);

CreateBiTree(&T,definition);

ClearBiTree(&T);

BiTreeEmpty(T);

BiTreeDepth(T);

Root(T);

Value(T,e);

Assign(T,&e,value);

Parent(T,e);

LeftChild(T,e);

RightChild(T,e);

LeftSibling(T,e);

RightSibling(T,e);

InsertChild(T,p,LR,c);

DeleteChild(T,p,LR);

PreOrderTraverse(T,visit());

InOrderTraverse(T,visit());

PostOrderTraverse(T,visit());

LevelOrderTraverse(T,Visit());

}ADT BinaryTree

三、二叉树的性质

性质1:在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点(i>=1)。 
性质2:深度为k的二叉树至多有2的k次方减1个结点(k>=1)。 
性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。 
性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2n|+1 
性质5:

如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号,则对任一结点i(1=<i=<n)有:
(1)如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则双亲PARENT(i)是结点i/2
(2)如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i
(3)如果2i+1>n,则结点i无右孩子;否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1

 

 

 

 
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