同学们要不断的努力学习才能丰富自己的知识，在即将到来的期末检测，同学们要准备好的数学期末检测试题来练习，下面是51自学小编为大家带来的关于九年级数学上册期末检测试题，希望会给大家带来帮助。

　　九年级数学上册期末检测试题：

　　一、选择题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项).

　　1.﹣8的倒数是( )

　　A.8 B.﹣8 C. D.

　　【考点】倒数.

　　【分析】根据倒数的定义作答.

　　【解答】解：﹣8的倒数是﹣ .

　　故选D.

　　【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握.需要注意的是倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数.倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数.

　　2.下列几个图形中，不是中心对称图形的是( )

　　【考点】中心对称图形.

　　【分析】根据中心对称图形的概念，运用排除法求解.

　　【解答】解：根据中心对称图形的概念可知，A、B、C都是中心对称图形;而D不是中心对称图形.

　　故选D.

　　【点评】掌握中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个旋转点，就叫做中心对称点.

　　3.节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人.350 000 000用科学记数法表示为( )

　　A.3.5×107 B.3.5×108 C.3.5×109 D.3.5×1010

　　【考点】科学记数法—表示较大的数.

　　【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值是易错点，由于350 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8.

　　【解答】解：350 000 000=3.5×108.

　　故选：B.

　　【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键.

　　4.下列说法中，正确的是( )

　　A.在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天

　　B.“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上

　　C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖

　　D.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间降雨

　　【考点】概率的意义.

　　【分析】概率值只是反映了事件发生的机会的大小，不是会一定发生.不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1.

　　【解答】解：A、在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天是必然事件，是正确的;

　　B、“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛硬币正面朝上的机会是0.5，选项错误;

　　C、“彩票中奖的概率是1%”表示买彩票会中奖的机会是1%，选项错误;

　　D、“明天降雨的概率是80%”表示明天降雨的机会是80%，故选项错误.

　　故选A.

　　【点评】本题考查了概率的意义，理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小.

　　5.函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是( )

　　A.(1，﹣4) B.(﹣1，2) C.(1，3) D.(﹣1，3)

　　【考点】二次函数的性质.

　　【分析】根据顶点式的意义直接解答即可.

　　【解答】解：二次函数y=2(x﹣1)2+3的图象的顶点坐标是(1，3).

　　故选C.

　　【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的顶点坐标为(h，k).

　　6.⊙O的半径为2cm，若直线a上有一点到圆心的距离为2cm，则直线a和圆O的位置关系是( )

　　A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交

　　【考点】直线与圆的位置关系.

　　【分析】若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切.

　　【解答】解：∵圆心到直线a的距离等于或小于圆的半径，

　　∴直线和圆相交或相切.

　　故选：D.

　　【点评】考查了直线与圆的位置关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离.

　　7.当x>0时，函数 的图象在( )

　　A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限

　　【考点】反比例函数的性质.

　　【分析】先根据反比例函数的性质判断出反比例函数的图象所在的象限，再求出x>0时，函数的图象所在的象限即可.

　　【解答】解：∵反比例函数 中，k=﹣5<0，

　　∴此函数的图象位于二、四象限，

　　∵x>0，

　　∴当x>0时函数的图象位于第四象限.

　　故选A

　　【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y= (k≠0)的图象是双曲线;当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限.

　　8.一个点到圆上的最小距离是4，最大距离是9，则圆的半径是( )

　　A.2.5 B.2.5或6.5 C.6.5 D.5或13

　　【考点】点与圆的位置关系.

　　【分析】根据线段的和差，可得圆的直径，根据圆的性质，可得答案.

　　【解答】解：当点在圆内时，圆的直径为4+9=13，r= =6.5;

　　当点在圆外时，圆的直径为9﹣4=5，r= =2.5;

　　故选：B.

　　【点评】本题考查了点与圆的位置关系，利用线段的和差得出圆的直径是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.

　　9.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )

　　A.x(x﹣1)=2070 B.x(x+1)=2070 C.2x(x+1)=2070 D.

　　【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

　　【分析】根据题意得：每人要赠送(x﹣1)张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程.

　　【解答】解：根据题意得：每人要赠送(x﹣1)张相片，有x个人，

　　∴全班共送：(x﹣1)x=2070，

　　故选：A.

　　【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键.

　　10.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是( )

　　A.y=﹣2x2 B.y=2x2 C.y=﹣ x2 D.y= x2

　　【考点】根据实际问题列二次函数关系式.

　　【专题】压轴题.

　　【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解.

　　【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0;

　　那么(2，﹣2)应在此函数解析式上.

　　则﹣2=4a

　　即得a=﹣ ，

　　那么y=﹣ x2.

　　故选：C.

　　【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点.

　　二、填空题：(本大题共8小题，每小题4分，共32分.)

　　11.使 在实数范围内有意义的x应满足的条件是x>1.

　　【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.

　　【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣1>0，再解即可.

　　【解答】解：由题意得：x﹣1>0，

　　解得：x>1.

　　故答案为：x>1.

　　【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0;二次根式的被开方数是非负数.

　　12.分解因式：a3﹣a=a(a+1)(a﹣1).

　　【考点】提公因式法与公式法的综合运用.

　　【专题】因式分解.

　　【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

　　【解答】解：a3﹣a，

　　=a(a2﹣1)，

　　=a(a+1)(a﹣1).

　　故答案为：a(a+1)(a﹣1).

　　【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底.

　　13.圆锥底面圆的半径为3m，母线长为6m，则圆锥的侧面积为18πcm2.

　　【考点】圆锥的计算.

　　【分析】根据圆锥的侧面积就等于经母线长乘底面周长的一半.依此公式计算即可解决问题.

　　【解答】解：圆锥的侧面积=6×6π÷2=18πcm2.

　　故答案为：18πcm2.

　　【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式.熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键.

　　14.若100个产品中有95个正品，5个次品，从中随机抽取一个，恰好是次品的概率是0.05.

　　【考点】概率公式.

　　【分析】本题只要用次品的个数除以总的产品的个数即可得出次品的概率.

　　【解答】解：依题意得：取出次品的概率为 = =0.05.

　　故本题答案为：0.05.

　　【点评】本题考查的是概率的公式，用满足条件的个数除以总个数可得出概率的值.

　　15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y<0时，自变量x的取值范围是﹣1

　　【考点】二次函数与不等式(组).

　　【分析】求函数值y<0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时，对应的x的取值范围.

　　【解答】解：函数值y<0时，自变量x的取值范围是﹣1

　　故答案是：﹣1

　　【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y<0时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴下方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想.

　　16.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b﹣1=0有两个相等的实数根，则b的值是2.

　　【考点】根的判别式.

　　【专题】计算题.

　　【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值.

　　【解答】解：根据题意得：△=b2﹣4(b﹣1)=(b﹣2)2=0，

　　则b的值为2.

　　故答案为：2

　　【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根;根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根;根的判别式的值小于0，方程没有实数根.

　　17.如图，在△ABC中，∠A=70°，点O是内心，则∠BOC=125°.

　　【考点】三角形的内切圆与内心;角平分线的定义;三角形内角和定理.

　　【专题】计算题.

　　【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内心，求出∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，代入求出∠OBC+∠OCB，根据三角形的内角和定理求出∠BOC即可.

　　【解答】解：∵∠A=70°，

　　∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=110°，

　　∵点O是△ABC的内心，

　　∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，

　　∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=55°，

　　∴∠BOC=180°﹣(∠OBC+∠OCB)=125°.

　　故答案为：125°.

　　【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内心，角平分线定义等知识点的应用，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较典型，主要训练了学生的推理能力和计算能力.

　　18.如图，⊙O过点B、C.圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为 .

　　【考点】垂径定理;勾股定理.

　　【专题】计算题.

　　【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD= BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长.

　　【解答】解：过O作OD⊥BC，

　　∵BC是⊙O的一条弦，且BC=6，

　　∴BD=CD= BC= ×6=3，

　　∴OD垂直平分BC，又AB=AC，

　　∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，

　　∵△ABC是等腰直角三角形，

　　∴∠ABC=45°，

　　∴△ABD也是等腰直角三角形，

　　∴AD=BD=3，

　　∵OA=1，

　　∴OD=AD﹣OA=3﹣1=2，

　　在Rt△OBD中，

　　OB= = = .

　　故答案为： .

　　【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

　　三、解答题(一)：(本大题共6小题，共38分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　19.计算：( )﹣1﹣(π﹣3)0﹣ .

　　【考点】实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

　　【分析】利用零指数幂的性质以及二次根式的性质以及负整数值幂的性质化简，进而求出答案.

　　【解答】解：( )﹣1﹣(π﹣3)0﹣

　　=5﹣1﹣2

　　=4﹣2 .

　　【点评】此题主要考查了零指数幂以及二次根式的性质和负整数指数幂，正确化简化简各数是解题关键.

　　20.先化简，再求值： ÷(1﹣ )，其中x=0.

　　【考点】分式的化简求值.

　　【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可.

　　【解答】解：原式= ÷( ﹣ )

　　当x=0时，原式= .

　　【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

　　21.为了推进农村新型合作医疗改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如图所示)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置.(要求：不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹.)

　　【考点】作图—应用与设计作图.

　　【分析】连接AB，AC，作出线段AB，AC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为P点.

　　【解答】解：如图所示：

　　【点评】本题考查的是作图﹣应用与设计作图，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键.

　　22.如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm.

　　(1)求它的侧面展开图的圆心角和表面积.

　　(2)若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少?为什么?

　　【考点】圆锥的计算;平面展开-最短路径问题.

　　【分析】(1)利用圆锥的弧长等于底面周长得到圆锥的侧面展开图的圆心角;圆锥表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长;

　　(2)最短路线应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度.

　　【解答】解：(1) =2π×10，

　　解得n=90.

　　圆锥表面积=π×102+π×10×40=500πcm2.

　　(2)如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长.

　　在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，

　　∴AB=20 (cm).

　　∴甲虫走的最短路线的长度是20 cm.

　　【点评】用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长;求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度.

　　23.已知反比例函数 的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，﹣2)，

　　(1)求这两个函数的关系式;

　　(2)观察图象，写出使得y1>y2成立的自变量x的取值范围.

　　【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

　　【专题】计算题.

　　【分析】(1)将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式;

　　(2)利用图象即可得出所求不等式的解集，即为x的范围.

　　【解答】解：(1)∵函数y1= 的图象过点A(1，4)，即4= ，

　　∴k=4，

　　∴反比例函数的关系式为y1= ;

　　又∵点B(m，﹣2)在y1= 上，

　　∴m=﹣2，

　　∴B(﹣2，﹣2)，

　　又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，

　　∴依题意，得 ，

　　解得 ，

　　∴一次函数的关系式为y2=2x+2;

　　(2)根据图象y1>y2成立的自变量x的取值范围为x<﹣2或0

　　【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键.

　　24.甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中.

　　(1)求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率;

　　(2)从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜;若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜;试分析这个游戏是否公平?请说明理由.

　　【考点】游戏公平性;概率公式;列表法与树状图法.

　　【专题】探究型.

　　【分析】(1)由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;

　　(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平.

　　【解答】解：(1)由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

　　故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ;

　　(2)这个游戏不公平.

　　画树状图得：

　　∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，

　　∴P(甲胜)= ，P(乙胜)= .

　　∴P(甲胜)≠P(乙胜)，

　　故这个游戏不公平.

　　【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.

　　四、解答题(二)：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)

　　25.在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳这四种运动项目.为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图.请你结合图中的信息解答下列问题：

　　(1)样本中喜欢B项目的人数百分比是20%，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是72°;

　　(2)把条形统计图补充完整;

　　(3)已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少?

　　【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.

　　【分析】(1)利用1减去其它各组所占的比例即可求得喜欢B项目的人数百分比，利用百分比乘以360度即可求得扇形的圆心角的度数;

　　(2)根据喜欢A的有44人，占44%即可求得调查的总人数，乘以对应的百分比即可求得喜欢B的人数，作出统计图;

　　(3)总人数1000乘以喜欢乒乓球的人数所占的百分比即可求解.

　　【解答】解：(1)1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，所在扇形统计图中的圆心角的度数是：360×20%=72°;

　　(2)调查的总人数是：44÷44%=100(人)，

　　则喜欢B的人数是：100×20%=20(人)，

　　(3)全校喜欢乒乓球的人数是1000×44%=440(人).

　　【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

　　26.已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D.

　　(1)求证：PD是⊙O的切线;

　　(2)若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值.

　　【考点】切线的判定.

　　【专题】综合题.

　　【分析】(1)连接OP，要证明PD是⊙O的切线只要证明∠DPO=90°即可;

　　(2)连接AP，根据已知可求得BP的长，从而可求得BC的长.

　　【解答】(1)证明：连接AP，OP，

　　∵AB=AC，

　　∴∠C=∠B，

　　又∵OP=OB，∠OPB=∠B，

　　∴∠C=∠OPB，

　　∴OP∥AD;

　　又∵PD⊥AC于D，

　　∴∠ADP=90°，

　　∴∠DPO=90°，

　　∵以AB为直径的⊙O交BC于点P，

　　∴PD是⊙O的切线.

　　(2)解：∵AB是直径，

　　∴∠APB=90°;

　　∵AB=AC=2，∠CAB=120°，

　　∴∠BAP=60°，

　　∴BP= ，

　　∴BC=2 .

　　【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点(即为半径)，再证垂直即可.

　　27.在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套.

　　(1)求出y与x的函数关系式.

　　(2)当销售单价为多少元时，月销售额为14000元;

　　(3)当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?

　　[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是 ].

　　【考点】二次函数的应用;一元二次方程的应用.

　　【专题】销售问题.

　　【分析】(1)根据销售量=240﹣(销售单价每提高5元，销售量相应减少20套)列函数关系即可;

　　(2)根据月销售额=月销售量×销售单价=14000，列方程即可求出销售单价;

　　(3)设一个月内获得的利润为w元，根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答.

　　【解答】解：(1) ，

　　∴y=﹣4x+480(x≥60);

　　(2)根据题意可得，x(﹣4x+480)=14000，

　　解得，x1=70，x2=50(不合题意舍去)，

　　∴当销售价为70元时，月销售额为14000元.

　　(3)设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得

　　w=(x﹣40)(﹣4x+480)，

　　=﹣4x2+640x﹣19200，

　　=﹣4(x﹣80)2+6400，

　　当x=80时，w的最大值为6400

　　∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元.

　　【点评】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，并涉及到了根据二次函数的最值公式，熟练记忆公式是解题关键.

　　28.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形.

　　【考点】菱形的判定;梯形;中点四边形.

　　【专题】证明题.

　　【分析】连接AC、BD，根据等腰梯形的对角线相等可得AC=BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF=GH= AC，HE=FG= BD，从而得到EF=FG=GH=HE，再根据四条边都相等的四边形是菱形判定即可.

　　【解答】证明：如图，连接AC、BD，

　　∵AD∥BC，AB=CD，

　　∴AC=BD，

　　∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，

　　∴在△ABC中，EF= AC，

　　在△ADC中，GH= AC，

　　∴EF=GH= AC，

　　同理可得，HE=FG= BD，

　　∴EF=FG=GH=HE，

　　∴四边形EFGH为菱形.

　　【点评】本题考查了菱形的判定，等腰梯形的对角线相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，作辅助线是利用三角形中位线定理的关键，也是本题的难点.

　　29.(14分)已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，点B的坐标为(3，0)，且抛物线的对称轴是直线x= .

　　(1)求此抛物线的表达式.

　　(2)在抛物线的对称轴右边的图象上，是否存在点M，使锐角三角形AMB的面积等于3?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.

　　(3)在(1)(2)条件下，若P点是抛物线上的一点，且∠PAM=90°，求△APM的面积.

　　【考点】二次函数综合题.

　　【专题】代数几何综合题;压轴题.

　　【分析】(1)根据抛物线对称轴解析式列式求出b，再把点B的坐标代入求出c，即可得解;

　　(2)根据抛物线解析式求出点A的坐标，再求出AB的长度，然后利用三角形的面积公式求出点M到AB的距离，然后根据△AMB是锐角三角形判断点M在x轴下方，从而确定点M的纵坐标，再代入抛物线解析式计算求出横坐标，从而得解;

　　(3)根据点M的坐标可得∠BAM=45°，然后求出∠PAB=45°，从而写出直线PA的解析式，与抛物线解析式联立求出点P的坐标，再利用勾股定理求出PA、AM的长度，然后根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可得解.

　　【解答】解：(1)抛物线的对称轴是直线x=﹣ = ，

　　解得b=﹣3，

　　∵点B(3，0)在抛物线上，

　　∴9﹣3×3+c=0，

　　解得c=0.

　　所以此抛物线的表达式为y=x2﹣3x;

　　(2)存在.

　　理由如下：令y=0，则x2﹣3x=0，

　　解得x1=0，x2=3，

　　∵点A在点B左边，

　　∴点A的坐标为(0，0)，

　　∴AB=3，

　　设点M到AB的距离为h，则S△AMB= ×3•h=3，

　　解得h=2，

　　∵△AMB是锐角三角形，

　　∴点M应该在x轴的下方，

　　∴点M的纵坐标为﹣2，

　　代入抛物线解析式得，x2﹣3x=﹣2，

　　即x2﹣3x+2=0，

　　解得x1=1，x2=2，

　　又∵点M在对称轴右边的图象上，

　　∴点M的横坐标为2，

　　∴点M的坐标为(2，﹣2)，

　　此时，过点M作MN⊥x轴于点N，则AN=MN=2，BN=1，

　　∴∠AMN=45°，∠BMN<45°，

　　∴∠AMB<90°，是锐角，

　　∴△AMB是锐角三角形，

　　故存在点M(2，﹣2)，使锐角三角形AMB的面积等于3;

　　(3)由(2)得∠MAN=45°，

　　∵∠PAM=90°，

　　∴∠PAN=90°﹣45°=45°，

　　∴点P在直线y=x上，

　　联立 ，

　　解得 (舍去)， ，

　　∴点P的坐标为(4，4)，

　　根据勾股定理，AM= =2 ，

　　PA= =4 ，

　　所以△APM的面积= AM•PM= ×2 ×4 =8.

　　【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了二次函数的对称轴，点在抛物线上，三角形的面积，直角三角形的面积以及直线与抛物线的交点的求解，难度不是很大，先求出抛物线的解析式是解题的关键，数据的巧妙设计也是本题的一大特点.

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